Volver a Guía
Ir al curso
Reportar problema
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
PALACIOS PUEBLA
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
4.
Decida cuáles de las siguientes sucesiones son monótonas crecientes, monótonas decrecientes y cuáles de ellas no tienen ninguna propiedad de monotonía.
III) $c_{n}=\frac{3^{n}}{n !}$
III) $c_{n}=\frac{3^{n}}{n !}$
Respuesta
Apa, en este caso ya no es tan obvio como antes. Pero mirá, planteemos por ejemplo que:
$c_{n+1} \leq c_n$
$\frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \leq \frac{3^n}{n!} $
Despejemos y veamos si esta relación se cumple a partir de algún $n$. Primero nos va a convenir reescribir algunas cosas, usando reglas de potencias:
$3^{n+1} = 3^n \cdot 3$
y teniendo en cuenta la definición de factorial, fijate que:
$(n+1)! = n! \cdot (n+1)$
Reemplazamos en nuestra inecuación estas expresiones:
$\frac{3^{n} \cdot 3}{(n+1)n!} \leq \frac{3^n}{n!} $
$\frac{3^n \cdot 3}{3^n} \leq \frac{n! (n+1)}{n!} $
Simplificamos
$3 \leq n + 1$
$2 \leq n$
Es decir, nosotros planteamos que $c_{n+1} \leq c_n$, despejamos y obtuvimos que esta relación se cumple para todo $n$ natural mayor o igual a $2$. Perfecto, esto nos confirma que nuestra sucesión es monótona decreciente.